Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi – Dalam pelajaran matematika terdapat istilah relasi dan fungsi, dimana keduanya saling berkaitan. Relasi dan fungsi merupakan satu konsep yang sangat penting dalam belajar matematika.

Terdapat banyak permasalahan dalam matematika yang bisa diselesaikan dengan cara menggunakan relasi dan fungsi.

Nah, bagi kamu yang masih bingung dan belum benar-benar paham mengenai relasi dan fungsi, simak yuk penjelasan lengkapnya berikut ini.

Pengertian Relasi dan Fungsi serta Perbedaanya

Secara sederhana, relasi dapat didefinisikan sebagai sebuah hubungan, namun hubungan di maksud yaitu hubungan antara daerah asal dan daerah kawan.

Sedangkan fungsi yaitu relasi yang menghubungkan daerah asal. Dalam relasi, tidak ada aturan khusus untuk menghubungkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah kawan.

Aturan hanya terikat pada pernyataan relasi tersebut. Setiap anggota himpunan daerah asal boleh memiliki pasangan lebih dari satu dan boleh juga tidak memiliki pasangan.

Sedangkan dalam fungsi, setiap anggota himpunan daerah asal dihubungkan dengan aturan khusus.

Aturan itu mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal memiliki pasangan dan hanya satu yang dipasangkan dengan daerah kawannya.

Perlu kamu ketahui bahwa tak semua relasi pemetaan adalah fungsi. Tapi semua fungsi sudah pasti relasi. Begini penjelasannya:

1. Semua anggota di domain harus memiliki pasangan yang tepat satu pasangan di kodomain.
2. Tidak semua anggota kodomain harus berpasangan dengan anggota lain di domain.
3. Anggota kodomain dapat memiliki lebih dari satu pasangan di domain.

Nah, begitulah  pengertian dan perbedaan antara relasi dan fungsi, sudah paham belum? sekarang kita bahas mengenai cara untuk  menyatakan relasi, simak di bawah ini ya!

Cara Menyatakan Relasi dan Fungsi

Relasi dan fungsi yang menghubungkan dua himpunan tersebut yaitu daerah asal dan daerah kawan, keduanya sama-sama dapat dinyatakan dengan 3 cara.

Yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan dengan menggunakan diagram cartesius  :

1. Menggunakan diagram panah

Diagram panah adalah cara yang paling mudah dan sederhana untuk menyatakan  relasi. Diagram panah ini berbentuk pola dari relasi dalam bentuk arah panah yang menyatakan antara himpunan A dan B.

Dari hasil uraian di atas, maka terdapat dua himpunan. Himpunan pertama yaitu himpunan nama anak, sebut saja himpunan A lalu himpunan kedua yaitu himpunan makanan,  sebut saja himpunan B.

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah, relasi juga bisa dinyatakan dengan cara menggunakan himpunan pasangan berurutan, dengan memasangkan atau menghubungkan himpunan A dan himpunan B secara berurutan.

Maka, dari uraian di atas kita dapat menyatakan relasinya dengan himpunan

pasangan berurutan seperti berikut:

(Ali, nasi goreng), (Siti, bakso), (Amir, burger), (Rizki, rawon), (Santi, sate)

Jadi, relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

3. Diagram Cartesius

Diagram Cartesius yaitu relasi antara dua himpunan dari pasangan berurutan yang kemudian tulis dalam bentuk dot (titik).

Contohnya:

Relasi antara anak dengan makanan kesukaannya, maka dapat ditulis dengan himpunan A = {Ali, Siti, Amir, Rizki, Santi} dan himpunan B = {nasi goreng, bakso, burger, rawon, sate}.

Penjelasan:

Karena Fungsi merupakan  Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaan jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B.

Maka, fungsi sudah pasti memiliki relasi tetapi relasi belum tentu fungsi.

Sifat -Sifat Relasi

Terdapat 5 sifat relasi yang harus kamu ketahui yaitu:

1. Sifat Simetris

Misalkan R suatu relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dapat dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) €  R.

Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :

R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }

Contoh :

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.

Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q adalah :

(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q

maka akan diperoleh :

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)

R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :

(q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p

Maka diperoleh :

R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Jika M adalah matriks yang menampilkan suatu relasi R, maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan, diperoleh dengan melakukan translasi terhadap matriks M,

2. Sifat Reflektif

Contohnya: R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) €  R.

Contoh :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R Adalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

Sifat refleksif memiliki beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :

• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,
• Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk grafik berarah maka pada grafik tersebut selalu akan ditemukan loop setiap simpulnya.

3. Sifat Antisimetris

Misalkan R adalah sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.

Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C}

Sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

4. Sifat Ekuivalensi

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.

Contoh : Dari Merupakan relasi ekuivalensi ikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}.

Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris din transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekuivalensi.

5. Sifat Transitif

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.

Contoh :

R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :

R : a + b = 5, a, b ∈ A,

Dengan memperhatikan definisi relasi Pada himpunan A, maka :

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Perhatikan bahwa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.

Dengan demikian R tidak bersifat transitif.

Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :

Jika ada busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.

Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

Sifat-sifat fungsi

Sifat fungsi terbagi menjadi 3 kelompok yaitu fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif. Pengelompokkan tersebut berdasarkan pada sifatnya. Perbedaan ketiga kelompok tersebut dijelaskan di bawah ini:

1.  Fungsi Surjektif (Fungsi Onto)

Fungsi Surjektif atau fungsi onto memiliki ciri yaitu anggota kodomainnya boleh mempunyai pasangan lebih dari satu, tapi tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan.

Fungsi surjektif akan terpenuhi jika jumlah anggota kodomain sama dengan atau lebih sedikit dari anggota domain.

2. Fungsi Injektif atau Fungsi Satu-Satu (Fungsi Into)

Fungsi injektif disebut juga dengan fungsi into atau juga fungsi satu-satu.

Fungsi f: A → B bisa dikatakan fungsi injektif apabila dan hanya jika anggota kodomain dipasangkan satu kali dengan anggota domain.

Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak mempunyai pasangan, namun semua anggota kodomain yang dipasangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu.

3. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu)

Fungsi Bijektif adalah gabungan dari fungsi injektif dan fungsi surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain dipasangkan tepat satu.

Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, tapi  kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan.

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah beberapa fungsi yang tersusun dan terhubung saling bekerja sama. Contohnya adalah seperti ini :

Jika fungsi f dan g merupakan mesin yang bekerja beriringan. Maka fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa f(x).

Kemudian f(x) dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa g(f(x)).

Contoh diatas jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan g o f sehingga:

(g o f)(x) =  g(f(x))

Nah, begitulah pengertian relasi dan fungsi beserta contohnya. Semoga artikel ini dapat membantu kamu dalam memahami arti relasi dan fungsi dalam belajar matematika. Selamat belajar.

Daftar Pustaka

• www. studiobelajar. com/relasi -fungsi- komposisi- invers/
• idschool. net/ sma/ relasi-dan-fungsi -pengertian- perbedaan-dan- contoh-soal
• blog. ruangguru .com/apa -itu- relasi-dan- fungsi
• rhowindaputri. blogspot.com /2018 /04/ sifat- sifat-relasi -dan- fungsi. html
• passinggrade. co.id/ relasi- dan-fungsi/
• www.kelaspintar. id/blog/ tips-pintar /contoh- relasi- dan-fungsi -dalam-matematika- 5491/